La forma del cambiamento

Immaginiamo una pallina che scivola lungo una superficie curva. Si muove cercando di raggiungere il punto più basso seguendo le direzioni di maggior pendenza, guidata dalla geometria della superficie. Un esempio semplice, che suggerisce un’idea generale: la ricerca di equilibrio, attraverso un cambiamento guidato da un principio di efficienza o di economia.

Proviamo ad allargare lo sguardo: dai piccoli movimenti di una pallina alle dinamiche dell’atmosfera, ai flussi di capitale, alle trasformazioni nei materiali o nei sistemi biologici, fino ai percorsi degli algoritmi di ricerca nei dati o nelle reti neurali. Anche in questi casi l’evoluzione segue leggi e dinamiche non arbitrarie, spesso difficili da catturare. Per arrivare a una comprensione profonda—utile anche per simulazioni o predizioni—abbiamo bisogno di un linguaggio matematico, capace di descrivere e analizzare queste trasformazioni con precisione. Con il progetto OPTiMiSE, finanziato dal Consiglio Europeo della Ricerca (ERC), proponiamo e studiamo modelli matematici per comprendere le trasformazioni di sistemi complessi che evolvono, si adattano o attraversano transizioni profonde.

Il progetto si occupa di problemi evolutivi: contesti in cui uno stato, una forma o una struttura si modificano nel tempo, in modo continuo o discontinuo, talvolta irreversibile. Pur nella diversità di questi fenomeni, la matematica seleziona ed estrae solo gli aspetti essenziali, isolando ciò che conta davvero: le proprietà dell’energia, la geometria dello spazio, e i principi variazionali che guidano l’evoluzione.

Geometria e principi variazionali sono anche alla base della teoria del trasporto ottimale, nata per rispondere a problemi concreti — come il trasferimento efficiente di risorse tra due configurazioni— e rivelatasi, negli ultimi decenni, uno strumento sorprendentemente potente. L’idea moderna risale al matematico sovietico Leonid Kantorovich, che ne diede una formulazione rigorosa negli anni ’40. Per questo contributo — esteso poi all’economia della pianificazione — ricevette nel 1975 il Premio Nobel per l’Economia. I suoi concetti trovano oggi applicazione nella comprensione di processi molto diversi: dall’evoluzione delle galassie alla diffusione di agenti biologici, fino a certe dinamiche sociali.

Nel progetto OPTiMiSE, combiniamo questi strumenti per analizzare i meccanismi e i principi che regolano il cambiamento. Alcuni sistemi evolvono in modo graduale e fluido, come il ghiaccio che si scioglie. Altri si trasformano per salti improvvisi, come una frattura che si apre. Altri ancora sembrano stabili, ma accumulano tensione fino a un punto critico, in cui tutto si riconfigura.

Vi sono tre grandi famiglie di problemi, tutte riconducibili a modelli variazionali, che incarnano questa tensione tra continuità e discontinuità:

• Flussi gradiente – Sistemi che si evolvono per rendere minima una certa energia, seguendo la via più rapida di discesa. È lo schema naturale per descrivere molti fenomeni di diffusione, aggregazione e dissipazione.
• Evoluzioni dissipative – Processi in cui il cambiamento avviene per effetto di dispersione o meccanismi irreversibili, come attrito, vincoli o resistenze strutturali. In questi casi, l’evoluzione non segue una semplice discesa energetica, ma dipende da fattori più complessi, che possono includere fenomeni come l’equilibrio di punti sella.
• Processi indipendenti dalla velocità – Sistemi in cui conta solo l’ordine degli eventi, non la rapidità con cui si succedono. Questo avviene in molte trasformazioni industriali, nei fenomeni di soglia o in alcune dinamiche sociali, dove il cambiamento avviene solo al superamento di certe condizioni critiche.

Uno degli obiettivi di OPTiMiSE è costruire ponti tra diverse forme di evoluzione: tra cambiamenti continui e bruschi, tra modelli deterministici e descrizioni probabilistiche, tra sistemi in cui la massa si conserva e altri in cui può comparire o sparire, come accade nelle reazioni chimiche o nei processi biologici di crescita e decadimento.

Vorremmo spingere al limite le capacità descrittive degli oggetti matematici, in modo da trattare la classe più vasta possibile di modelli con il minimo di ipotesi strutturali. Al tempo stesso, puntiamo a individuare algoritmi generali che permettano di calcolare in modo efficace approssimazioni numeriche accurate.

Non è una matematica facile. Ma speriamo che gli strumenti che svilupperemo possano essere utili per affrontare in futuro, in modo più chiaro e rigoroso, molti problemi reali: dal clima all’economia, dai materiali intelligenti alla modellazione nell’intelligenza artificiale. In ultima analisi, ci guida un desiderio che, credo, accomuna ogni indagine scientifica: quello di riconoscere ordine, struttura e anche un po’ di eleganza nelle trasformazioni che ci circondano.